Nguyên tắc cơ bản và luật của đại số logic

nhà toán học Ireland vào giữa thế kỷ 19 George Bull đã phát triển đại số logic ("Nghiên cứu các quy luật tư duy"). Do đó đại số logic còn được gọi là đại số Boolean.

Bằng cách đưa ra các ký hiệu chữ cái, thể hiện các hoạt động của các phép biến đổi logic trong các ký hiệu hành động và sử dụng các quy tắc và tiên đề được thiết lập cho các hành động này, đại số logic cho phép quá trình suy luận giải quyết một vấn đề được đưa ra dưới dạng logic mệnh đề được mô tả đầy đủ trong các thuật toán. , nghĩa là có một chương trình toán học được viết để giải bài toán này.

Để biểu thị tính đúng hay sai của các câu lệnh (nghĩa là đưa ra các giá trị để đánh giá các câu lệnh), đại số logic sử dụng một hệ thống nhị phân, thuận tiện trong trường hợp này. Nếu câu lệnh đúng, nó nhận giá trị 1, nếu sai, nó nhận giá trị 0. Không giống như các số nhị phân, các số 1 và 0 logic không biểu thị một đại lượng mà là một trạng thái.

Vì vậy, trong các mạch điện được mô tả bằng đại số Boolean, trong đó 1 là sự hiện diện của điện áp và 0 là sự vắng mặt của nó, việc cung cấp điện áp từ một số nguồn đến một nút của mạch (nghĩa là sự xuất hiện của một số đơn vị logic của nó) là cũng hiển thị dưới dạng một đơn vị logic biểu thị không phải tổng điện áp tại nút mà chỉ biểu thị sự hiện diện của nó.

Khi mô tả tín hiệu đầu vào và đầu ra của mạch logic, các biến được sử dụng chỉ nhận các giá trị logic 0 hoặc 1. Sự phụ thuộc của tín hiệu đầu ra vào đầu vào được xác định hoạt động logic (chức năng)… Chúng ta hãy biểu thị các biến đầu vào bằng X1 và X2, và đầu ra thu được bằng một phép toán logic trên chúng bằng y.

Hãy nghĩ về nó ba phép toán logic cơ bản cơ bản, với sự giúp đỡ của những thứ ngày càng phức tạp có thể được mô tả.

1. Phép toán OR — phép cộng logic:

Phép toán OR - phép cộng logic

Với tất cả các giá trị có thể có của các biến, người ta có thể định nghĩa phép toán OR là sự đầy đủ của ít nhất một đơn vị trong đầu vào để tạo ra một đơn vị ở đầu ra. Tên của hoạt động được giải thích bởi ý nghĩa ngữ nghĩa của liên kết OR trong cụm từ: «Nếu OR là một đầu vào HOẶC thứ hai là một, thì đầu ra là một.»

2. Phép toán AND — phép nhân logic:

Và phép toán - phép nhân logic

Từ việc xem xét đầy đủ tập giá trị của các biến, phép toán AND được định nghĩa là cần phải khớp tất cả những cái ở đầu vào để lấy một cái ở đầu ra: “Nếu AND là một đầu vào và thứ hai là một, thì đầu ra là một. «

3. Thao tác KHÔNG — phủ định hoặc đảo ngược logic. Nó được biểu thị bằng một thanh phía trên biến.

Khi đảo ngược, giá trị của biến được đảo ngược.

Các định luật cơ bản của đại số logic:

1. Định luật về tập hợp số 0: tích của bất kỳ số lượng biến nào biến mất nếu bất kỳ biến nào bằng 0, bất kể giá trị của các biến khác:

Luật không đặt

2. Luật tập hợp phổ quát — tổng của bất kỳ số lượng biến nào trở thành một nếu ít nhất một trong số các biến có giá trị một, bất kể các biến khác:

Bộ luật chung

3. Luật lặp lại — các biến lặp lại trong biểu thức có thể được bỏ qua (nói cách khác, không có phép lũy thừa và phép nhân với một hệ số trong đại số Boolean):

Luật lặp lại