Dòng chảy và lưu thông của một trường vectơ
Dựa trên tài liệu bài giảng của Richard Feynman
Khi mô tả các định luật điện theo trường vectơ, chúng ta phải đối mặt với hai đặc điểm toán học quan trọng của trường vectơ: thông lượng và lưu thông. Sẽ thật tuyệt nếu hiểu những khái niệm toán học này là gì và ý nghĩa thực tế của chúng là gì.
Phần thứ hai của câu hỏi rất dễ trả lời ngay vì các khái niệm về dòng chảy và lưu thông là trọng tâm của phương trình Maxwell, trên đó tất cả điện động lực học hiện đại thực sự dựa vào.
Vì vậy, ví dụ, định luật cảm ứng điện từ có thể được phát biểu như sau: sự lưu thông của điện trường E dọc theo một vòng kín C bằng tốc độ thay đổi của từ thông B qua bề mặt S giới hạn bởi nó vòng B
Trong phần tiếp theo, chúng tôi sẽ mô tả khá đơn giản, sử dụng các ví dụ linh hoạt rõ ràng, cách xác định các đặc điểm trường bằng toán học, từ đó lấy và thu được các đặc điểm trường này.
thông lượng trường vectơ
Để bắt đầu, chúng ta hãy vẽ một bề mặt kín nhất định có hình dạng hoàn toàn tùy ý xung quanh khu vực đang nghiên cứu. Sau khi mô tả bề mặt này, chúng tôi đặt câu hỏi liệu đối tượng nghiên cứu, mà chúng tôi gọi là trường, có chảy qua bề mặt kín này hay không. Để hiểu tất cả điều này là gì, hãy xem xét một ví dụ về chất lỏng đơn giản.
Giả sử chúng ta đang nghiên cứu trường vận tốc của một chất lỏng nhất định. Đối với một ví dụ như vậy, thật hợp lý khi đặt câu hỏi: có nhiều chất lỏng đi qua bề mặt này trong một đơn vị thời gian hơn là chảy vào thể tích được giới hạn bởi bề mặt này không? Nói cách khác, có phải tốc độ dòng chảy ra luôn hướng chủ yếu từ trong ra ngoài?
Theo biểu thức "thông lượng trường vectơ" (và ví dụ của chúng tôi, biểu thức "thông lượng vận tốc chất lỏng" sẽ chính xác hơn), chúng tôi sẽ đồng ý đặt tên cho tổng lượng chất lỏng tưởng tượng chảy qua bề mặt của thể tích được xem xét giới hạn bởi a bề mặt kín (đối với tốc độ dòng chảy của chất lỏng, lượng chất lỏng đi theo thể tích trên một đơn vị thời gian).
Kết quả là, từ thông qua phần tử bề mặt sẽ bằng tích diện tích của phần tử bề mặt với thành phần vuông góc của vận tốc. Sau đó, tổng thông lượng (tổng cộng) trên toàn bộ bề mặt sẽ bằng tích của thành phần pháp tuyến trung bình của vận tốc, mà chúng ta sẽ tính từ trong ra ngoài, với tổng diện tích bề mặt.
Bây giờ trở lại điện trường. Tất nhiên, điện trường không thể được coi là vận tốc dòng chảy của một số chất lỏng, nhưng chúng tôi có quyền đưa ra một khái niệm toán học về dòng chảy, tương tự như những gì chúng ta đã mô tả ở trên là dòng chảy có vận tốc của chất lỏng.
Chỉ trong trường hợp điện trường, từ thông của nó mới có thể được xác định bằng thành phần pháp tuyến trung bình của cường độ điện trường E. Ngoài ra, từ thông của điện trường có thể được xác định không nhất thiết qua một mặt kín mà qua bất kỳ mặt bao nào diện tích khác không S .
Sự tuần hoàn của một trường vectơ
Mọi người đều biết rằng, để rõ ràng hơn, các trường có thể được mô tả dưới dạng cái gọi là các đường sức, tại mỗi điểm mà hướng của tiếp tuyến trùng với hướng của cường độ trường.
Chúng ta hãy quay lại phép loại suy chất lỏng và tưởng tượng trường vận tốc của chất lỏng Chúng ta hãy tự đặt câu hỏi: chất lỏng có tuần hoàn không? Nghĩa là, nó có chuyển động chủ yếu theo hướng của một vòng khép kín tưởng tượng nào đó không?
Để rõ ràng hơn, hãy tưởng tượng rằng chất lỏng trong một thùng chứa lớn đang chuyển động bằng cách nào đó (Hình A) và chúng ta đột nhiên đóng băng gần như toàn bộ thể tích của nó, nhưng đã cố gắng để thể tích không bị đóng băng ở dạng một ống kín đồng nhất trong đó không có ma sát của chất lỏng trên tường (hình b).
Bên ngoài ống này, chất lỏng đã đóng băng và do đó không thể chuyển động được nữa, nhưng bên trong ống, chất lỏng có thể tiếp tục chuyển động, với điều kiện là có một động lượng phổ biến đẩy nó, ví dụ, theo chiều kim đồng hồ (Hình. .°C). Khi đó tích của vận tốc chất lỏng trong ống và chiều dài của ống sẽ được gọi là vận tốc lưu thông của chất lỏng.
Tương tự, chúng ta có thể định nghĩa một vòng tuần hoàn cho một trường vectơ, mặc dù một lần nữa trường không thể được coi là vận tốc của bất kỳ thứ gì, tuy nhiên chúng ta có thể xác định đặc tính toán học của "sự lưu thông" dọc theo một đường bao.
Vì vậy, sự lưu thông của một trường vectơ dọc theo một vòng khép kín tưởng tượng có thể được định nghĩa là tích của thành phần tiếp tuyến trung bình của vectơ theo hướng vòng lặp đi qua — bằng độ dài của vòng lặp.