Phương trình Maxwell cho trường điện từ - các định luật cơ bản của điện động lực học

Hệ thống các phương trình Maxwell có tên và sự xuất hiện của James Clerk Maxwell, người đã xây dựng và viết các phương trình này vào cuối thế kỷ 19.

Maxwell James Clark (1831 - 1879) là một nhà vật lý và toán học nổi tiếng người Anh, giáo sư tại Đại học Cambridge của Anh.

Ông thực tế đã kết hợp trong các phương trình của mình tất cả các kết quả thí nghiệm thu được vào thời điểm đó về điện và từ, và đưa ra các định luật về điện từ ở dạng toán học rõ ràng. Các định luật cơ bản của điện động lực học (phương trình Maxwell) được xây dựng vào năm 1873.

Maxwell đã phát triển học thuyết của Faraday về trường điện từ thành một lý thuyết toán học mạch lạc, từ đó suy ra khả năng truyền sóng của các quá trình điện từ. Hóa ra tốc độ lan truyền của các quá trình điện từ bằng với tốc độ ánh sáng (giá trị của nó đã được biết đến từ các thí nghiệm).

Sự trùng hợp ngẫu nhiên này là cơ sở để Maxwell thể hiện ý tưởng về bản chất chung của các hiện tượng điện từ và ánh sáng, tức là về bản chất điện từ của ánh sáng.

Lý thuyết về hiện tượng điện từ, do James Maxwell tạo ra, lần đầu tiên được xác nhận trong các thí nghiệm của Hertz, người đầu tiên thu được sóng điện từ.

Kết quả là, các phương trình này đóng một vai trò quan trọng trong việc hình thành các biểu diễn chính xác của điện động lực học cổ điển. Phương trình Maxwell có thể viết dưới dạng vi phân hoặc tích phân. Trong thực tế, họ mô tả bằng ngôn ngữ toán học khô khan về trường điện từ và mối quan hệ của nó với điện tích và dòng điện trong chân không và trong môi trường liên tục. Để các phương trình này bạn có thể thêm biểu thức của lực Lorentz, trong trường hợp đó chúng tôi nhận được một hệ phương trình đầy đủ của điện động lực học cổ điển.

Để hiểu một số ký hiệu toán học được sử dụng trong các dạng vi phân của phương trình Maxwell, trước tiên chúng ta hãy định nghĩa một thứ thú vị như toán tử nabla.

Toán tử Nabla (hoặc toán tử Hamilton) Là một toán tử vi phân vectơ có các thành phần là đạo hàm riêng theo tọa độ. Đối với không gian thực của chúng ta, không gian ba chiều, một hệ tọa độ hình chữ nhật là phù hợp, trong đó toán tử nabla được định nghĩa như sau:

trong đó i, j và k là các vectơ tọa độ đơn vị

Toán tử nabla, khi được áp dụng cho một trường theo cách toán học nào đó, sẽ đưa ra ba kết hợp có thể. Những kết hợp này được gọi là:

Dốc — một vectơ, với hướng của nó biểu thị hướng tăng lớn nhất của một đại lượng nhất định, giá trị của nó thay đổi từ điểm này sang điểm khác trong không gian (trường vô hướng) và về độ lớn (mô-đun) bằng với tốc độ tăng của điểm này lượng theo hướng này.

Phân kỳ (phân kỳ) — toán tử vi phân ánh xạ trường vectơ thành vô hướng (nghĩa là, do áp dụng phép toán vi phân cho trường vectơ, thu được trường vô hướng), xác định (đối với mỗi điểm) "trường đi vào bao nhiêu và khiến một lân cận nhỏ của một điểm nhất định phân kỳ”, chính xác hơn là dòng tiền vào và dòng tiền ra khác nhau như thế nào.

Rotor (xoáy, quay) là một toán tử vi phân vectơ trên một trường vectơ.

Bây giờ nghĩ thẳng Phương trình Maxwell ở dạng tích phân (trái) và vi phân (phải)chứa các định luật cơ bản của điện trường và từ trường, bao gồm cả cảm ứng điện từ.

Dạng tích phân: sự tuần hoàn của vectơ cường độ điện trường dọc theo một vòng kín tùy ý tỉ lệ thuận với tốc độ biến thiên của từ thông qua vùng giới hạn bởi vòng này.

Dạng vi phân: mỗi sự thay đổi của từ trường đều sinh ra điện trường xoáy tỉ lệ với tốc độ biến thiên của cảm ứng từ trường.

Ý nghĩa vật lý: bất kỳ sự thay đổi nào của từ trường theo thời gian đều gây ra sự xuất hiện của điện trường xoáy.

Dạng tích phân: từ thông cảm ứng từ qua một mặt kín tùy ý bằng không. Điều này có nghĩa là không có điện tích từ tính trong tự nhiên.

Dạng vi phân: từ thông của các đường sức cảm ứng của một từ trường có thể tích cơ bản vô hạn bằng không, vì trường là xoáy.

Ý nghĩa vật lý: trong tự nhiên không có nguồn nào tạo ra từ trường dưới dạng điện tích từ.

Dạng tích phân: sự tuần hoàn của vectơ cường độ từ trường dọc theo một vòng kín tùy ý tỷ lệ thuận với tổng dòng điện đi qua bề mặt bao phủ bởi vòng này.

Dạng vi sai: Một từ trường xoáy tồn tại xung quanh bất kỳ dây dẫn mang dòng điện nào và xung quanh bất kỳ điện trường xoay chiều nào.

Ý nghĩa vật lý: dòng điện chạy qua dây dẫn và sự biến thiên của điện trường theo thời gian dẫn đến xuất hiện từ trường xoáy.

Dạng tích phân: từ thông của vectơ cảm ứng tĩnh điện qua một mặt kín tùy ý chứa các điện tích tỉ lệ thuận với tổng các điện tích nằm bên trong mặt đó.

Dạng vi phân: từ thông của vectơ cảm ứng của trường tĩnh điện từ một thể tích sơ cấp vô hạn tỉ lệ thuận với tổng điện tích trong thể tích đó.

Ý nghĩa vật lý: nguồn gốc của điện trường là điện tích.

Hệ thống các phương trình này có thể được bổ sung bằng một hệ thống được gọi là phương trình vật chất đặc trưng cho các tính chất của môi trường vật chất lấp đầy không gian: