Định luật Biot-Savart và định lý về sự tuần hoàn của véc tơ cảm ứng từ

Năm 1820, hai nhà khoa học người Pháp Jean-Baptiste Biot và Félix Savard, trong quá trình làm thí nghiệm chung để nghiên cứu từ trường của dòng điện một chiều, đã chứng minh một cách dứt khoát rằng cảm ứng từ của dòng điện một chiều chạy qua dây dẫn có thể coi là kết quả của hiện tượng hành động chung của tất cả các phần của dây này với dòng điện. Điều này có nghĩa là từ trường tuân theo nguyên lý chồng chất (the principle of superposition of fields).

Từ trường được tạo bởi một nhóm dây dẫn DC có dạng sau: cảm ứng từrằng giá trị của nó được định nghĩa là tổng vectơ của các cảm ứng từ được tạo ra bởi từng dây dẫn riêng biệt. Nghĩa là, cảm ứng B của dây dẫn dòng điện một chiều có thể được biểu diễn tương đối bằng tổng véc tơ của các cảm ứng cơ bản dB thuộc các tiết diện cơ bản dl của dây dẫn một chiều I đang xét.

Thực tế là không thực tế khi cô lập một phần cơ bản của một dây dẫn trực tiếp, bởi vì D.C. luôn đóng cửa.Nhưng bạn có thể đo tổng cảm ứng từ do một dây tạo ra, tức là do tất cả các phần cơ bản của một dây nhất định tạo ra.

Do đó, định luật Biot-Sovar cho phép bạn tìm giá trị của cảm ứng từ B của phần (dl đã biết chiều dài) của dây dẫn, với dòng điện I cho trước, ở một khoảng cách r nhất định từ phần này của dây dẫn và trong một hướng quan sát nhất định từ phần đã chọn (được đặt thông qua hình sin của góc giữa hướng của dòng điện và hướng từ phần của dây dẫn đến điểm được kiểm tra trong không gian gần dây dẫn):

Bằng thực nghiệm, người ta đã xác định được rằng hướng của vectơ cảm ứng từ có thể dễ dàng xác định bằng quy tắc vít bên phải hoặc quy tắc gimbal: nếu hướng chuyển động tịnh tiến của gimbal trong quá trình quay của nó trùng với hướng của dòng điện một chiều I trong dây, thì hướng quay của tay cầm gimbal xác định chiều của véc tơ cảm ứng từ B do dòng điện đó sinh ra.

Từ trường của một dây dẫn thẳng mang dòng điện, cũng như minh họa về việc áp dụng định luật Bio-Savart cho nó, được thể hiện trong hình:

Vì vậy, nếu chúng ta tích hợp, nghĩa là thêm, sự đóng góp của từng phần nhỏ của một dây dẫn có dòng điện không đổi vào từ trường tổng, chúng ta sẽ có một công thức tìm cảm ứng từ của một dây dẫn có dòng điện ở một bán kính R nhất định từ nó .

Theo cách tương tự, sử dụng định luật Bio-Savard, bạn có thể tính toán cảm ứng từ từ các dòng điện trực tiếp có cấu hình khác nhau và tại các điểm nhất định trong không gian, ví dụ: cảm ứng từ ở tâm của một mạch tròn có dòng điện được tìm thấy bởi công thức sau:

Hướng của vectơ cảm ứng từ có thể dễ dàng tìm thấy theo quy tắc gimbal, chỉ bây giờ gimbal phải được quay theo hướng của dòng điện kín và chuyển động về phía trước của gimbal sẽ hiển thị hướng của vectơ cảm ứng từ.

Thông thường, các tính toán liên quan đến từ trường có thể được đơn giản hóa nếu chúng ta tính đến tính đối xứng của cấu hình dòng điện do trường tạo ra. Ở đây bạn có thể sử dụng định lý về sự lưu thông của vectơ cảm ứng từ (giống như định lý Gauss trong tĩnh điện học). «sự lưu thông của véc tơ cảm ứng từ» là gì?

Chúng ta hãy chọn trong không gian một vòng khép kín nhất định có hình dạng tùy ý và chỉ ra chiều di chuyển của nó theo điều kiện, đối với mỗi điểm của vòng này, bạn có thể tìm hình chiếu của vectơ cảm ứng từ B trên tiếp tuyến của vòng tại điểm đó. Sau đó, tổng tích của các đại lượng này theo độ dài cơ bản của tất cả các phần của đường viền là sự lưu thông của vectơ cảm ứng từ B dọc theo đường viền này:

Trên thực tế, tất cả các dòng điện tạo ra từ trường chung ở đây có thể xuyên qua mạch đang xem xét hoặc một số dòng có thể nằm ngoài mạch. Theo định lý tuần hoàn: sự tuần hoàn của vectơ cảm ứng từ B của các dòng điện một chiều trong một vòng kín bằng số bằng tích của hằng số từ mu0 với tổng của tất cả các dòng điện một chiều xuyên qua vòng kín. Định lý này được xây dựng bởi Andre Marie Ampere vào năm 1826:

Hãy xem xét hình trên. Ở đây, dòng điện I1 và I2 thâm nhập vào mạch, nhưng chúng được định hướng theo các hướng khác nhau, điều đó có nghĩa là chúng có các dấu hiệu khác nhau có điều kiện.Dấu dương sẽ có dòng điện có hướng cảm ứng từ (theo quy tắc cơ bản) trùng với hướng bỏ qua của mạch đã chọn. Đối với tình huống này, định lý tuần hoàn có dạng:

Nói chung, định lý về sự lưu thông của vectơ cảm ứng từ B tuân theo nguyên lý chồng chất từ ​​trường và định luật Biot-Savard.

Ví dụ, chúng ta rút ra công thức tính cảm ứng từ của một dây dẫn dòng điện một chiều. Chúng ta hãy chọn một đường viền có dạng hình tròn, đi qua tâm mà dây này đi qua và dây vuông góc với mặt phẳng của đường viền.

Do đó, tâm của vòng tròn nằm trực tiếp ở tâm của vật dẫn, nghĩa là trong vật dẫn. Vì hình ảnh là đối xứng, nên vectơ B có hướng tiếp tuyến với đường tròn và do đó hình chiếu của nó trên tiếp tuyến là như nhau ở mọi nơi và bằng độ dài của vectơ B. Định lý tuần hoàn được viết như sau:

Do đó, công thức tính cảm ứng từ của một dây dẫn thẳng có dòng điện một chiều như sau (công thức này đã được đưa ra ở trên). Tương tự, sử dụng định lý tuần hoàn, người ta có thể dễ dàng tìm thấy cảm ứng từ của các cấu hình DC đối xứng trong đó hình ảnh của các đường sức rất dễ hình dung.

Một trong những ví dụ thực tế quan trọng về ứng dụng của định lý tuần hoàn là tìm từ trường bên trong cuộn cảm hình xuyến.

Giả sử có một cuộn dây hình xuyến quấn tròn trên một khung các tông hình bánh rán với số vòng N. Trong cấu hình này, các đường cảm ứng từ được bao bọc bên trong bánh rán và có dạng các vòng tròn đồng tâm (nằm trong nhau). .

Nếu bạn nhìn theo hướng của vectơ cảm ứng từ dọc theo trục bên trong của chiếc bánh rán, thì hóa ra dòng điện được hướng ở mọi nơi theo chiều kim đồng hồ (theo quy tắc gimbal). Xét một trong các đường (màu đỏ) của cảm ứng từ bên trong cuộn dây và chọn nó làm một vòng tròn bán kính r. Sau đó, định lý lưu thông cho một mạch nhất định được viết như sau:

Và cảm ứng từ trường bên trong cuộn dây sẽ bằng:

Đối với một cuộn dây hình xuyến mỏng, trong đó từ trường gần như đều trên toàn bộ mặt cắt ngang của nó, có thể viết biểu thức cho cảm ứng từ như thể đối với một cuộn dây điện từ dài vô hạn, có tính đến số vòng dây trên một đơn vị chiều dài — N :

Bây giờ hãy xem xét một cuộn dây điện từ dài vô hạn trong đó từ trường hoàn toàn nằm bên trong. Ta áp dụng định lý tuần hoàn cho đường bao hình chữ nhật đã chọn.

Ở đây vectơ cảm ứng từ sẽ chỉ cho một hình chiếu khác không trên mặt 2 (chiều dài của nó bằng L). Sử dụng tham số n — «số vòng trên một đơn vị chiều dài», chúng ta có được một dạng như vậy của định lý tuần hoàn, mà cuối cùng quy về dạng tương tự như đối với một cuộn dây hình xuyến multitonCoy: