Tại sao số phức được sử dụng để tính toán trong mạch điện xoay chiều

Như các bạn đã biết, số phức được dùng để giải một số bài toán điển hình trong kỹ thuật điện. Nhưng chúng được sử dụng để làm gì và tại sao nó được thực hiện theo cách này? Đây là những gì chúng tôi sẽ cố gắng hiểu trong quá trình của bài viết này. Thực tế là phương pháp phức tạp hoặc phương pháp biên độ phức tạp thuận tiện cho việc tính toán các mạch điện xoay chiều phức tạp. Và để bắt đầu, hãy nhớ lại một số điều cơ bản của toán học:

Như bạn có thể thấy, số phức z bao gồm phần ảo và phần thực, chúng khác nhau và được biểu thị khác nhau trong văn bản. Bản thân số phức z có thể được viết dưới dạng đại số, lượng giác hoặc hàm mũ:

Bối cảnh lịch sử

Người ta tin rằng ý tưởng về số ảo bắt đầu vào năm 1545, khi nhà toán học, kỹ sư, triết gia, bác sĩ và nhà chiêm tinh người Ý Girolamo Cardano công bố phương pháp giải phương trình này trong chuyên luận "The Great Art" của ông, trong đó, theo những người khác. , ông thừa nhận rằng Niccolò đã đưa ý tưởng này cho Tartaglia (một nhà toán học người Ý) của ông 6 năm trước khi công trình này được xuất bản. Trong tác phẩm của mình, Kradano giải các phương trình có dạng:

Trong quá trình giải các phương trình này, nhà khoa học buộc phải thừa nhận sự tồn tại của một số «không thực» nào đó, bình phương của nó sẽ bằng trừ một «-1», nghĩa là, như thể có một căn bậc hai của a số âm, và nếu bây giờ nó được bình phương, sẽ trở thành số âm tương ứng dưới gốc. Cardano đã nêu quy tắc nhân, theo đó:

Trong ba thế kỷ, cộng đồng toán học đang trong quá trình làm quen với phương pháp mới do Cardano đề xuất. Những con số ảo đang dần bén rễ, nhưng các nhà toán học vẫn miễn cưỡng chấp nhận. Mãi cho đến khi xuất bản các tác phẩm của Gauss về đại số, nơi ông chứng minh định lý cơ bản của đại số, thì số phức cuối cùng mới được chấp nhận hoàn toàn, thế kỷ 19 đã đến gần.

Các số ảo đã trở thành cứu cánh thực sự cho các nhà toán học vì những bài toán phức tạp nhất trở nên dễ giải quyết hơn nhiều bằng cách chấp nhận sự tồn tại của các số ảo.

Vì vậy, nó sớm đến với kỹ thuật điện. Các mạch điện xoay chiều đôi khi rất phức tạp và phải tính nhiều tích phân để tính chúng, điều này thường rất bất tiện.

Cuối cùng, vào năm 1893, kỹ sư điện lỗi lạc Carl August Steinmetz đã phát biểu tại Chicago tại Đại hội Kỹ thuật Điện Quốc tế với báo cáo "Số phức và ứng dụng của chúng trong kỹ thuật điện", đánh dấu sự khởi đầu của ứng dụng thực tế của các kỹ sư phương pháp phức tính toán mạch điện cho dòng điện xoay chiều.

Chúng tôi biết điều này từ khóa học vật lý Dòng điện xoay chiều — đây là dòng điện thay đổi theo thời gian cả về cường độ và hướng.

Trong công nghệ, có nhiều dạng dòng điện xoay chiều khác nhau, nhưng phổ biến nhất hiện nay là dòng điện xoay chiều hình sin, đây là thứ được sử dụng ở mọi nơi, với sự trợ giúp của dòng điện được truyền đi, dưới dạng dòng điện xoay chiều, được tạo ra, chuyển đổi bởi máy biến áp và được tiêu thụ bởi tải. Một dòng điện hình sin thay đổi định kỳ theo quy luật hình sin (điều hòa).

Giá trị hiệu dụng của cường độ dòng điện và hiệu điện thế nhỏ hơn giá trị biên độ của gốc hai lần:

Trong phương pháp phức, giá trị hiệu dụng của dòng điện và hiệu điện thế được viết như sau:

Lưu ý rằng trong kỹ thuật điện, đơn vị ảo được biểu thị bằng chữ «j», vì chữ «i» đã được sử dụng ở đây để biểu thị dòng điện.

Từ Định luật Ohm xác định giá trị phức tạp của điện trở:

Phép cộng và phép trừ các giá trị phức được thực hiện ở dạng đại số, còn phép nhân và phép chia ở dạng hàm mũ.

Hãy xem xét phương pháp biên độ phức tạp bằng cách sử dụng ví dụ về một mạch cụ thể với các giá trị nhất định của các tham số chính.

Ví dụ giải bài toán sử dụng số phức

Được cho:

• điện áp cuộn dây 50 V,

• điện trở kháng 25 Ohm,

• cuộn cảm 500 mH,

• công suất điện của tụ điện là 30 microfarad,

• điện trở cuộn dây 10 Ohm,

• tần số lưới điện 50 Hz.

Tìm: số chỉ của ampe kế và vôn kế cũng như oát kế.

Trả lời:

Để bắt đầu, chúng ta viết ra điện trở phức của các phần tử mắc nối tiếp, bao gồm phần thực và phần ảo, sau đó chúng ta tìm điện trở phức của phần tử cảm ứng hoạt động.

Đang nhớ! Để có dạng hàm mũ, hãy tìm mô đun z bằng căn bậc hai của tổng bình phương phần thực và phần ảo, và phi bằng với arctang của thương lấy phần ảo chia cho phần thực.

Sau đó, chúng tôi tìm thấy dòng điện và theo đó, số đọc của ampe kế:

Vì vậy, ampe kế chỉ dòng điện 0,317 A—đó là dòng điện chạy qua toàn bộ mạch nối tiếp.

Bây giờ chúng ta sẽ tìm điện trở dung của tụ điện, sau đó chúng ta sẽ xác định điện trở phức của nó:

Sau đó, chúng tôi tính tổng trở kháng phức tạp của mạch này:

Bây giờ ta tìm điện áp hiệu dụng đặt vào mạch là:

Vôn kế sẽ chỉ hiệu điện thế hiệu dụng là 19,5 vôn.

Cuối cùng, chúng tôi tìm thấy công suất mà wattmeter sẽ hiển thị, có tính đến độ lệch pha giữa dòng điện và điện áp

Oát kế sẽ hiển thị 3,51 watt.

Bây giờ bạn đã hiểu tầm quan trọng của số phức trong kỹ thuật điện. Chúng được sử dụng để tính toán thuận tiện các mạch điện. Nhiều thiết bị đo lường điện tử hoạt động trên cùng một cơ sở.