Các định luật về đại số mạch liên hệ, đại số Boolean

Một bản ghi phân tích về cấu trúc và điều kiện hoạt động của các mạch rơle cho phép thực hiện các phép biến đổi tương đương phân tích của các mạch, nghĩa là bằng cách biến đổi các công thức cấu trúc, tìm các sơ đồ tương tự trong hoạt động của chúng. Các phương pháp chuyển đổi được phát triển đặc biệt đầy đủ cho các công thức cấu trúc biểu thị các mạch tiếp xúc.

Đối với các mạch tiếp xúc, bộ máy toán học của đại số logic được sử dụng, chính xác hơn, một trong những biến thể đơn giản nhất của nó, được gọi là phép tính mệnh đề hoặc đại số Boolean (theo tên nhà toán học của thế kỷ trước J. Boole).

Phép tính mệnh đề ban đầu được phát triển để nghiên cứu sự phụ thuộc (tính đúng hay sai của các phán đoán phức tạp vào tính đúng hay sai của các mệnh đề đơn giản tạo nên chúng. Về bản chất, phép tính mệnh đề là một đại số của hai số, nghĩa là, một đại số trong mà mỗi đối số riêng lẻ và mỗi hàm có thể có một trong hai giá trị.

Điều này xác định khả năng sử dụng đại số Boolean để biến đổi các mạch tiếp xúc, vì mỗi đối số (tiếp điểm) có trong công thức cấu trúc chỉ có thể nhận hai giá trị, nghĩa là nó có thể đóng hoặc mở và toàn bộ chức năng được đại diện bởi cấu trúc. công thức có thể biểu thị một vòng lặp khép kín hoặc mở.

Đại số Boolean giới thiệu:

1) các đối tượng, như trong đại số thông thường, có tên: các biến và hàm độc lập — tuy nhiên, không giống như đại số thông thường, trong đại số Boolean, cả hai chỉ có thể nhận hai giá trị: 0 và 1;

2) các phép toán logic cơ bản:

• phép cộng logic (hoặc phép tách, logic OR, được biểu thị bằng dấu ?), được định nghĩa như sau: kết quả của phép toán bằng 0 khi và chỉ khi tất cả các đối số của phép toán bằng 0, nếu không thì kết quả là 1;

• phép nhân logic (hoặc nối, logic AND, ký hiệu là ?, hoặc hoàn toàn không được chỉ định) được định nghĩa như sau: kết quả của phép toán là 1 khi và chỉ khi tất cả các đối số của phép toán bằng 1, nếu không thì kết quả là 0;

• phủ định (hoặc ngược lại, logic KHÔNG, được biểu thị bằng một thanh phía trên đối số), được định nghĩa như sau: kết quả của phép toán có giá trị ngược lại với đối số;

3) tiên đề (luật của đại số Boolean), xác định các quy tắc để biến đổi các biểu thức logic.

Lưu ý rằng mỗi phép toán logic có thể được thực hiện trên cả biến và hàm, sẽ được gọi là hàm Boolean bên dưới... Hãy nhớ lại rằng, bằng cách tương tự với đại số thông thường, trong đại số Boolean, phép toán phép nhân logic được ưu tiên hơn phép toán logic. thao tác cộng.

Biểu thức Boolean được hình thành bằng cách kết hợp các phép toán logic trên một số đối tượng (biến hoặc hàm), được gọi là đối số của phép toán.

Việc biến đổi các biểu thức logic bằng cách sử dụng các định luật của đại số Boolean thường được thực hiện với mục đích giảm thiểu, bởi vì biểu thức càng đơn giản thì độ phức tạp của chuỗi logic càng nhỏ, đó là triển khai kỹ thuật của biểu thức logic.

Các định luật của đại số Boolean được trình bày dưới dạng một tập hợp các tiên đề và hệ quả. Chúng có thể được kiểm tra khá đơn giản bằng cách thay thế các giá trị khác nhau của các biến.

Tương tự kỹ thuật của bất kỳ biểu thức logic nào cho hàm Boolean là sơ đồ logic... Trong trường hợp này, các biến mà hàm Boolean phụ thuộc được kết nối với đầu vào bên ngoài của mạch này, giá trị của hàm Boolean được hình thành tại đầu ra bên ngoài của mạch và mỗi phép toán logic trong một biểu thức logic được thực hiện bởi một phần tử logic.

Do đó, đối với mỗi bộ tín hiệu đầu vào ở đầu ra của mạch logic, một tín hiệu được tạo tương ứng với giá trị của hàm boolean của bộ biến này (tiếp theo, chúng ta sẽ sử dụng quy ước sau: 0 — mức tín hiệu thấp , 1 — mức tín hiệu cao).

Khi xây dựng các mạch logic, chúng ta sẽ giả sử rằng các biến được đưa vào đầu vào theo mã paraphase (nghĩa là có cả giá trị trực tiếp và giá trị nghịch đảo của các biến).

Bảng 1 cho thấy các ký hiệu đồ họa thông thường của một số phần tử logic theo GOST 2.743-91, cũng như các đối tác nước ngoài của chúng.

Ngoài các phần tử thực hiện ba phép toán của đại số Boolean (AND, OR, NOT), trong tab. 1 hiển thị các phần tử thực hiện các hoạt động bắt nguồn từ chính:

— VÀ -KHÔNG — phép phủ định của phép nhân logic, còn được gọi là di chuyển Schaefer (ký hiệu là |)

— HOẶC -KHÔNG — phủ định của phần bổ sung logic, còn được gọi là mũi tên Peirce (ký hiệu là ?)

Bằng cách nối tiếp các cổng logic với nhau, bạn có thể thực hiện bất kỳ hàm Boolean nào.

Các công thức cấu tạo biểu thị mạch rơle nói chung, tức là chứa ký hiệu của các đại bàng phản ứng, không thể được coi là hàm của hai giá trị chỉ biểu thị mạch kín hoặc mạch hở. Do đó, khi làm việc với các hàm như vậy, một số phụ thuộc mới phát sinh vượt ra ngoài giới hạn của đại số Boolean.

Trong đại số Boolean, có bốn cặp luật cơ bản: hai phép dời hình, hai phép tổ hợp, hai phép phân phối và hai phép nghịch đảo hợp pháp. Các định luật này thiết lập sự tương đương của các biểu thức khác nhau, nghĩa là chúng coi các biểu thức có thể thay thế cho nhau giống như sự thay thế các đơn vị trong đại số thông thường. Là một ký hiệu tương đương, chúng ta lấy ký hiệu giống như ký hiệu đẳng thức trong đại số thông thường (=).

Hiệu lực của các định luật đại số Boolean cho các mạch tiếp xúc sẽ được thiết lập bằng cách xem xét các mạch tương ứng với vế trái và vế phải của các biểu thức tương đương.

luật du lịch

Để thêm: x + y = y + x

Các sơ đồ tương ứng với các biểu thức này được hiển thị trong Hình. 1, một.

Các mạch bên trái và bên phải thường là các mạch hở, mỗi mạch sẽ đóng khi một trong các phần tử (X hoặc Y) được kích hoạt, nghĩa là các mạch này tương đương nhau. Cho phép nhân: x ·y = y ·NS.

Các sơ đồ tương ứng với các biểu thức này được hiển thị trong Hình. 1b, sự tương đương của chúng cũng rõ ràng.

Cơm. 1

quy luật kết hợp

Ngoài ra: (x + y) + z = x + (y + z)

Đối với phép nhân: (x ·y) ·z = x ·(y ·z)

Các cặp mạch tương đương tương ứng với các biểu thức này được hiển thị trong Hình. 2, a, b

Cơm. 2

luật phân phối

Phép nhân so với phép cộng: (x + y) +z = x + (y + z)

Phép cộng vs Phép nhân. x ·y + z = (x + z) ·(y + z)

Các sơ đồ tương ứng với các biểu thức này được hiển thị trong Hình. 3,a,b.

Cơm. 3.

Có thể dễ dàng xác minh tính tương đương của các sơ đồ này bằng cách xem xét các kết hợp khác nhau của tác động tiếp xúc.

Quy luật đảo ngược

Ngoài ra: NS + c = NS·c

Thanh phía trên bên trái của biểu thức là dấu hiệu phủ định hoặc đảo ngược. Dấu hiệu này chỉ ra rằng toàn bộ chức năng có ý nghĩa ngược lại đối với biểu thức bên dưới dấu hiệu phủ định. Không thể vẽ sơ đồ tương ứng với toàn bộ hàm ngược, nhưng có thể vẽ sơ đồ tương ứng với biểu thức dưới dấu âm. Do đó, công thức có thể được minh họa bằng các sơ đồ trong Hình. 4, một.

Cơm. 4.

Sơ đồ bên trái tương ứng với biểu thức x + y và sơ đồ bên phải tương ứng với NS ·c

Hai mạch này hoạt động ngược chiều nhau, cụ thể: nếu mạch bên trái có các phần tử X, Y chưa kích thích là mạch hở thì mạch bên phải là mạch kín. Nếu ở mạch bên trái, khi một trong các phần tử được kích hoạt, mạch sẽ đóng và ở mạch bên phải, ngược lại, nó sẽ mở ra.

Vì, theo định nghĩa của dấu âm, hàm x + y là hàm ngược của hàm x + y, nên hiển nhiên x + y = NS·in.

Về phép nhân: NS · c = NS + c

Các sơ đồ tương ứng được hiển thị trong hình. 4, b.

Phép tịnh tiến và tổ hợp và các định luật và định luật phân phối của phép nhân đối với phép cộng (tương ứng với các định luật tương tự của đại số thông thường).Do đó, trong trường hợp chuyển đổi các công thức cấu trúc theo thứ tự cộng và nhân các số hạng, đặt các số hạng bên ngoài dấu ngoặc và mở rộng dấu ngoặc, bạn có thể tuân theo các quy tắc được thiết lập để làm việc với các biểu thức đại số thông thường. Luật phân phối của phép cộng đối với phép nhân và luật nghịch đảo là đặc trưng cho đại số Boolean.