hệ thống số

Một hệ thống số là một tập hợp các quy tắc để biểu diễn các số bằng các dấu hiệu số khác nhau. Hệ thống số được phân thành hai loại: không có vị trí và có vị trí.

Trong các hệ thống số vị trí, giá trị của mỗi chữ số không phụ thuộc vào vị trí mà nó chiếm giữ, nghĩa là vào vị trí mà nó chiếm giữ trong tập hợp các chữ số. Trong hệ thống chữ số La Mã, chỉ có bảy chữ số: một (I), năm (V), mười (X), năm mươi (L), một trăm (C), năm trăm (D), một nghìn (M). Sử dụng các số này (ký hiệu), các số còn lại được viết bằng phép cộng và phép trừ. Ví dụ: IV là ký hiệu của số 4 (V — I), VI là số 6 (V + I), v.v. Số 666 được viết theo hệ La mã như sau: DCLXVI.

Ký hiệu này kém thuận tiện hơn so với ký hiệu chúng tôi hiện đang sử dụng. Ở đây sáu được viết bằng một ký hiệu (VI), sáu chục bằng ký hiệu khác (LX), sáu trăm lẻ ba (ĐC). Rất khó để thực hiện các phép toán số học với các số được viết bằng hệ thống chữ số La Mã. Ngoài ra, một nhược điểm chung của các hệ thống phi vị trí là sự phức tạp của việc biểu diễn các số đủ lớn trong chúng để dẫn đến ký hiệu cực kỳ cồng kềnh.

Bây giờ hãy xem xét cùng một số 666 trong hệ thống số vị trí. Trong đó, dấu đơn 6 có nghĩa là số một nếu đứng cuối cùng, số hàng chục nếu đứng áp chót và số hàng trăm nếu đứng thứ ba từ cuối trở xuống. Nguyên tắc viết số này được gọi là vị trí (cục bộ). Trong một bản ghi như vậy, mỗi chữ số nhận được một giá trị số không chỉ phụ thuộc vào kiểu của nó mà còn phụ thuộc vào vị trí của nó khi số được viết.

Trong hệ thống số vị trí, bất kỳ số nào được biểu diễn dưới dạng A = +a1a2a3 … ann-1an đều có thể được biểu diễn dưới dạng tổng

trong đó n — số chữ số hữu hạn trong ảnh của một số, ii số i-go chữ số, d — cơ sở của hệ thống số, i — số thứ tự của danh mục, dm-i — "trọng lượng" của danh mục i-ro . Các chữ số ai phải thỏa mãn bất đẳng thức 0 <= a <= (d—1).

Đối với ký hiệu thập phân, d = 10 và ai = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Vì các số bao gồm các số 1 và 0 có thể được coi là số thập phân hoặc số nhị phân khi được sử dụng cùng nhau, cơ sở của hệ thống số thường được chỉ định, ví dụ: (1100)2-nhị phân, (1100)10-thập phân.

Trong máy tính kỹ thuật số, các hệ thống khác ngoài số thập phân được sử dụng rộng rãi: nhị phân, bát phân và thập lục phân.

Hệ thống nhị phân

Đối với hệ thống này d = 2 và ở đây chỉ có hai chữ số được phép, tức là ai = 0 hoặc 1.

Bất kỳ số nào được biểu thị trong hệ nhị phân đều được biểu diễn dưới dạng tổng của tích lũy thừa hai lần chữ số nhị phân của bit đã cho. Ví dụ: số 101,01 có thể được viết như sau: 101,01 = 1×22 + 0x21 + 1×20 + 0x2-1 + 1×2-2, tương ứng với số trong hệ thập phân: 4 + 1 + 0,25 = 5.25 .

Trong hầu hết các máy tính kỹ thuật số hiện đại, hệ thống số nhị phân được sử dụng để biểu diễn các số trong máy và thực hiện các phép tính số học trên chúng.

Hệ thống số nhị phân, so với số thập phân, giúp đơn giản hóa các mạch và mạch của thiết bị số học và thiết bị bộ nhớ, đồng thời tăng độ tin cậy của máy tính. Chữ số của mỗi bit của số nhị phân được biểu thị bằng trạng thái «bật / tắt» của các phần tử như bóng bán dẫn, điốt, hoạt động đáng tin cậy ở trạng thái «bật / tắt». Những nhược điểm của hệ thống nhị phân bao gồm nhu cầu dịch theo một chương trình đặc biệt dữ liệu kỹ thuật số ban đầu sang hệ thống số nhị phân và kết quả của quyết định thành số thập phân.

Hệ thống số bát phân

Hệ này có cơ số d == 8. Các số được dùng để biểu diễn các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Hệ thống số bát phân được sử dụng trong máy tính như một công cụ hỗ trợ chuẩn bị các vấn đề để giải quyết (trong quy trình lập trình), kiểm tra hoạt động của máy và gỡ lỗi chương trình. Hệ thống này cho phép biểu diễn số ngắn hơn hệ thống nhị phân. Hệ thống số bát phân cho phép bạn chuyển sang hệ thống nhị phân một cách đơn giản.

Hệ thống số thập lục phân

Hệ thống này có cơ số d = 16. 16 ký tự được sử dụng để biểu diễn các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, và ký tự A … F đại diện cho các số thập phân 10, 11, 12, 13, 14 và 15. Số thập lục phân (1D4F) 18 sẽ tương ứng với số thập phân 7503 vì (1D4F)18 = 1 x163 + 13 x 162 + 14 x 161+ 15 x 16O = (7503)10

Ký hiệu thập lục phân cho phép các số nhị phân được viết gọn hơn bát phân. Nó tìm thấy ứng dụng trong các thiết bị đầu vào và đầu ra và thiết bị hiển thị số thứ tự của một số máy tính.

Hệ thống số nhị phân-thập phân

Biểu diễn các số trong hệ thống nhị phân-thập phân như sau. Ký hiệu thập phân của số được lấy làm cơ sở, sau đó mỗi chữ số của nó (từ 0 đến 9) được viết dưới dạng số nhị phân có bốn chữ số được gọi là tetrad, nghĩa là không sử dụng một ký hiệu nào để biểu thị mỗi chữ số của hệ thập phân, nhưng bốn.

Ví dụ: số thập phân 647,59 sẽ tương ứng với BCD 0110 0100 0111, 0101 1001.

Hệ thống số nhị phân-thập phân được sử dụng làm hệ thống số trung gian và để mã hóa các số đầu vào và đầu ra.

Quy tắc chuyển hệ thống số này sang hệ thống số khác

Việc trao đổi thông tin giữa các thiết bị máy tính được thực hiện chủ yếu thông qua các con số được biểu diễn trong hệ thống số nhị phân. Tuy nhiên, thông tin được trình bày cho người dùng bằng số trong hệ thống thập phân và địa chỉ lệnh được trình bày trong hệ thống bát phân. Do đó, nhu cầu chuyển số từ hệ thống này sang hệ thống khác trong quá trình làm việc với máy tính. Để làm điều này, hãy sử dụng quy tắc chung sau đây.

Để chuyển đổi một số nguyên từ bất kỳ hệ thống số nào sang hệ thống số khác, cần phải chia liên tiếp số này cho cơ số của hệ thống mới cho đến khi thương không nhỏ hơn số chia. Số trong hệ thống mới phải được viết dưới dạng số dư của phép chia, bắt đầu từ số cuối cùng, nghĩa là từ phải sang trái.

Ví dụ: hãy chuyển đổi số thập phân 1987 thành số nhị phân:

Số thập phân 1987 ở định dạng nhị phân là 11111000011, tức là (1987)10 = (11111000011)2

Khi chuyển từ bất kỳ hệ nào sang hệ thập phân, số được biểu diễn dưới dạng tổng các lũy thừa của cơ số với các hệ số tương ứng, sau đó giá trị của tổng được tính.

Ví dụ: hãy chuyển đổi số bát phân 123 thành số thập phân: (123)8 = 1 x 82 + 2 x 81 + 3 x 80 = 64 + 16 + 3 = 83, tức là (123)8 = (83)10

Để chuyển phần phân số của một số từ bất kỳ hệ thống nào sang hệ thống khác, cần thực hiện phép nhân liên tiếp của phân số này và các phần phân số thu được của tích dựa trên hệ thống số mới. Phần phân số của một số trong hệ thống mới được hình thành dưới dạng toàn bộ các phần của sản phẩm thu được, bắt đầu từ phần đầu tiên. Quá trình nhân tiếp tục cho đến khi tính được một số với độ chính xác cho trước.

Ví dụ: hãy chuyển đổi phân số thập phân 0,65625 sang hệ thống số nhị phân:

Vì phần phân số của tích thứ năm chỉ bao gồm các số không, nên phép nhân thêm là không cần thiết. Điều này có nghĩa là số thập phân đã cho được chuyển đổi thành nhị phân mà không có lỗi, tức là (0,65625)10 = (0,10101)2.

Chuyển đổi từ bát phân và thập lục phân sang nhị phân và ngược lại không khó. Điều này là do cơ sở của chúng (d — 8 và d — 16) tương ứng với các số nguyên của hai (23 = 8 và 24 = 16).

Để chuyển đổi các số bát phân hoặc thập lục phân thành nhị phân, chỉ cần thay thế từng số của chúng bằng một số nhị phân có ba hoặc bốn chữ số tương ứng.

Ví dụ: hãy dịch số bát phân (571)8 và số thập lục phân (179)16 sang hệ thống số nhị phân.

Trong cả hai trường hợp, chúng tôi nhận được cùng một kết quả, tức là (571)8 = (179)16 = (101111001)2

Để chuyển đổi một số từ hệ nhị phân-thập phân sang hệ thập phân, bạn cần thay thế mỗi bốn phần tư của số được biểu thị ở dạng thập phân nhị phân bằng một chữ số được biểu thị ở dạng thập phân.

Ví dụ: hãy viết số (0010 0001 1000, 0110 0001 0110)2-10 theo ký hiệu thập phân, tức là (0010 0001 1000, 0110 0001 0110)2-10 = (218,625)